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文章关键词:manbetx体育下载,正交级数

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  称为定义在(a,b)内的函数项级数。为什么要把一个看似简单的函数分解成一大堆函数的和呢?因为有些函数直接研究起来比较困难,以某种形式的级数进行展开,对里面的每一项单独研究,会变得更简单,也使得计算更加容易。级数有千千万万种,如泰勒级数,等比级数,调和级数等等。但是有一种由正弦函数组合而成的级数,显得尤为重要。这就是傅里叶级数。为什么傅里叶技术格外重要呢?这要归功于正弦函数优秀的性质。我们将函数展开成级数是为了获得更加简便和易于计算的形式。而当正弦波输入一个系统时,输出仍然是一个正弦波,只有振幅、相位和频率会发生变化,而不像其他的级数会使函数形式本身发生改变。这使得傅里叶级数在分析函数时具有了巨大的优势。此外,由于通信系统中电磁场与电磁波,以及诸多物理原理都与正弦信号有关,所以造就了傅里叶级数如此重要的地位。

  的周期函数叠加时,叠加后的函数频率必然为1HZ。然而,如果采用了诸如1.1HZ,2.5HZ,3,12435HZ之类频率的级数项,则输出频率将陷入混乱,所以这里只选取如1HZ,2HZ,3HZ,。。。,nHZ,。。。的频率作为级数项。1HZ可以作为基本频率,改写作fJZ, 则级数项将变为fHZ,2fHZ,3fHZ,。。。,nfHZ,。manbetx体育下载。。。回想图1中周期为1秒的方波函数,我们可以将它表示成

  那么如何确定上面公式中的bn呢?在这之前,manbetx体育下载然我们来谈谈什么是函数的正交性。学过线性代数的同学都知道,两个向量的正交是通过内积为零来定义的。而内积则是将向量的对应项相乘再求和来得到的。假设我们有一个任意长度的向量,每两个元素之间的距离无限小,那么我们就可以把这样两个向量看作两个连续的函数。类比内积的概念,两个函数正交也就是将两个函数赋予相同的自变量,再相乘,再做积分,如果积分等于零,则说明这两个函数在积分域上是正交的。

  在上一章,我们已经清楚的知道如何使用傅立叶级数去描述任何一个周期函数,其中傅里叶级数将一个周期函数描述成离散频率正弦函数的组合,即在频域上离散。然而,我们要分析的函数中常常会有非周期函数,这就需要傅里叶变换而不是傅里叶级数来描述这类函数。频域不同于时域,是从另一个角度观察客观世界的一种方式。其将无限动态的世界看成是注定的和静止的。从频域理解世界,更像是上帝看世界的方式。

  趋于零。也就是说,一个非周期函数会通过傅里叶变换被描述成连续的正弦函数的组合,即在频域上连续。基于这个思想,傅里叶级数即将演化成傅里叶变换。

  从上面两个式子我们可以看出,第一个式子相当于将一个时域函数f(t)变换成了频域函数f(w),而第二个式子相当于将频域函数f(w)变换为时域函数f(t)。那么一个时域函数变换到频域后,再变换回时域,还是不是它自身呢?这个问题就相当于f(t)=f(t)是否成立,也可以说成傅里叶变换是不是一一对应的。下面我们用反证法来探究这个问题。

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