manbetx体育客户端必要而且只要N是一个极大理想

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  6.7.1理想 定义6.7.1 设R是一个环,R的一个子集N说是R的 一个理想子环,简称理想,如果 从定义即可看出,manbetx体育客户端理想一定是子环,但子环未必是理想。 例6.7.1 设I为整数环I,mI是I的子环,且是I的 理想。因为 mI非空;若amI,bmI, 则a-bmI; 若amI,xI,则amI,amI. 例6.7.2设R为实数域上的二 阶正方矩阵环,形如 的所有元素组成的子集为N, 则N为R的子环,但不是R的理想。 比如,取x= 结论6.7.1任意体R只有平凡理想。 证明:任取R的理想N,若N={0},则得证。manbetx体育客户端否则, 理想子环在环论中的地位,与正规子群在群论中的地位相当。 结论6.7.2 aR={arrR}是R的理想,而且包含a。证明:(1)aR非空,因为0=a0aR,a=a1aR。 (2)若xaR,yaR,则存在r R,使得x=ar aR,manbetx体育客户端rz aR。。因此,aR是含a的理想。 定义6.7.2 设R是有壹的交换环,aR,则aR称为 由a生成的主理想,记为(a)。 显然(0)={0},(1)=R。 而(a)=aR可以说是包含a的所有“倍元素”的子环 ,例如在整数环I中,mI就是m的所有倍数作成的 理想。 结论6.7.3 环R的主理想(a)是R中包含a的理想 中最小(在集合包含关系下)的理想。 证明:设N是R中包含a的任一理想,往证(a)N。 任取x(a),即xaR,则存在rR,使得x=ar。由 所以(a)N。6.7.2 定义6.7.3设R是一个环,N是一理想。对于a, 余类。若a是R的任意元素,则包含a的剩余类可以写成a+N的形式,a和b在同一剩余类,当且仅 如果R是有壹的交换环,而N是主理想,N=(c),则a和b模N合同也可以说是模c合同,记为 ab(mod 例6.7.3设R为整数环I,N=(m)=mI, 则ab(mod 和在整数合同中讨论的一样,我们有定理6.7.1 乘法同态性:若ab,cd,则acbd。证明:(1)至(3)在群的讨论中已证,这不过 是加法群R模加法子群N的合同性。 于是ac=bd+ bn .但N是一个理想,故bn 由于环是有加、乘两种运算的代数系统,因此定义同态映射时必须同时保持加、乘的同态性。 定义6.7.4 设R是一个环,S是有加法和乘法两种 运算的系统,称R到S中的一个映射σ是环R到S中 的一个同态映射,如果 σ(ab)=σ(a)σ(b)。若R到R′上有一个同态映射,则称R到R′同态, 记为R~R′。 定义6.7.5 若σ是环R到系统R′上的一个一对一 的同态映射,则称σ是R到R′上的一个同构映射 或同构对应。若R到R′上有一个同构映射,则称R 与R′同构,记为RR′。 象群同态一样,我们有以下一些事实。 定理6.7.2 设R是一个环,S是一个有加法和乘法 的运算系统.若σ是R到S中的一个同态映射,则R 的映象R′=σ(R)也是一个环,σ(0)就是R′ -1)就是σ(a) -1 定理6.7.3同态映射σ的核N是R的一个理想.设a′是R′的任意元素,则a′的逆映象 证明:因为σ是R的加法群到R′的加法群上面的 一个同态映射,所以σ的核N=σ -1 个子群,且a′的逆映象σ-1 同样,我们要问:对于R的任意理想N,是否有一个环R′而且有R到R′的一个同态映射σ使N刚好 就是σ的核呢? 答案也是肯定的。 由群中已证的结果,模N的所有剩余类按照剩余类 的加法作成一个加法群,就是R对于N的商群RN, 规定σ(a)=a+N,即 为了回答上面的问题,我们规定剩余类的一种乘法,以使σ成为环R到系统RN上的同态映射。设A 由定理6.7.1之(5),若另取a′A,b′B,则包含a′b′的剩余类和包含ab的剩余类是一样 的,可见上面的乘法规定由A,B完全确定,与a,b 的选择无关。由σ的定义,σ(a)=a+N,σ(b) =b+N,σ(ab)= ab+N,但由上面的剩余类乘法 的定义,ab+N =σ(a)σ(b)。所以,σ是环R到运算系统RN上的一个同态映射。 由定理6.7.2,RN是一个环,这样,我们便得到: 定理6.7.4 按照剩余类的加法和乘法,R对于理 想N的所有剩余类的集合RN是一个环, 规定σ(a)= 映射,其核为N。RN叫做R对于N的剩余环,前面定理6.7.1中 (4),(5)所说的加法和乘法的同态性,其实 是说剩余环RN中的加法和乘法运算可由剩余类 中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素 的特殊选择无关。剩余环RN有了这加法和乘法 两种运算,就与环R同态。 定理6.7.5 若σ是环R到R′上的一个同态映射, 证明:设a′是R′的任意元素,则σ-1 的一个剩余类A。规定R′的a′和这个RN的A对应。这样,我们规定了R′到RN上的一个一对 一映射τ, 事实上,若τ(a′)=A,τ(b′)=B,即σ-1 AB。于是 τ(a′b′)=AB=τ(a′)τ(b′)。故τ是R′到RN上的一个同构对应。 如果把R的同态的环看作R的缩影,则定理6.7.5说 明只要取R的所有理想N而作RN,便得到R的所有 可能的缩影.作剩余环RN时,我们取剩余类为 元素而规定剩余类的加法和乘法,但也可以采取 下面的说法:不改变R的加法和乘法而改变R中元 素的相等,把互相合同的元素加以等置,这些等 置后得出元素作成环RN.这种说法更合于“缩 影”的意思,代数系统的意义不在于其元素是什 么,而在于元素间有什么样的关系,换句话说, 在于系统的构造,RN的意义在于它的算法,在 于R到它上的同态映射,至于它的元素说是剩余 类也可,说是由R中元素等置也可,说是和N的剩 余类一一对应的一些抽象元素也未尝不可。 至此,我们已将数论中的合同概念推广到任意的 环上,而且还引进了剩余环的概念。完全和群论 中的事实相对应,现在我们有: 定理6.7.6 于是R与N之间的子环与R′的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想。 6.7.4 单纯环与极大理想 由定理6.7.6知,若R′与{0′}间无理想,则R与N 间也无理想。 定义6.7.6 一个环R叫做一个单纯环,如果R除自 己和{0}外没有别的理想。 例6.7.4 取R的理想N,则从加法角度看,N一定是R的子群,故由Lagrange定理,NR。而R=5,所以 N只能为1或5,亦即, 或为(0),或为R,因此,R是单纯环。定义6.7.7 环R的一个理想N说是一个极大理想, 如果N R,而R与N之间没有别的理想。例6.7.5 设R是模12的整数环,R={0,1,2,…,11}. 是主理想,但非极大理想,因为有R的理想N 也是R的极大理想。可见,极大理想不唯一。 定理6.7.7 R,则N是R的极大理想必要而且只要RN是单纯环。 事实上,注意R~RN即得。 例6.7.6 由例6.7.5知,N 定理6.7.8任意有壹的交换的单纯环R是一个域。 证明: 只需证明R中任意非零元素有逆。为此,令aR, a0。看aR=(a),因为a0,又aaR。故aR(0)。 但R为单纯环,故aR=R,今R有壹,故必有R中之元素b适合 ab=1,即a在R中有逆b。 定理6.7.9 任意域F是有壹的交换的单纯环。 证明:取F的任意理想N(0),则有aN,a0, 于是有a -1 F。因为N是F的理想,故aa -1 即1N,因此,对于任意的χF,有χ=1χN,即FN。但自然NF,所以N=F。总之,F为单 于是,RN是一个域,必要而且只要N是一个极大理想。 事实上,根据定理6.7.8和定理6.7.9,RN是一 个域,必要而且只要RN是一个有壹的交换的单 纯环,又根据定理6.7.7,对于有壹的环RN( 环RN有壹,则RN中至少有两个元素,因之N

  (2)。设a'和a''为a的两个不同的 右逆元,往证a无左逆元。 (用反证法)假设a有左逆元a 故a’=a’’,这与a’a’’矛盾,因此原假设不对,a无左逆元。 (1)a至少有两个右逆。 是左零因子知,G中存在非零元素b有,ab=0。所以,a(

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