则 G 作为成群的充要manbetx体育客户端条件是

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文章关键词:manbetx体育下载,整左零理想

  近世代数复习题 一、定义描述(8’) 1、群:设 G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算。如果满足以下条件: (1)结合律成立,即对 G 中任意元素 a,b,c 都有(a b) c = a (b c). (2)G 中有元素 e.叫做 G 的左单位元,它对 G 中每个元素 a 都有 e a = a . (3)对 G 中每个元素 a,在 G 中都有元素 a-1,叫做 a 的左逆元,使 a-1 a = e . 则称 G 对代数运算 做成一个群。 2、正规子群:设 N 是群 G 的一个子群,如果对 G 中每个元素 a 都有 aN=Na,即 aNa-1=N , 则称 N 是群 G 的一个正规子群(或不变子群) 。 3、环:设非空集合 R 有两个代数运算,一个叫做加法并用加号 + 表示,另一个叫做乘法用 乘号表示,如果: (1)R 对加法作成一个加群; (2)R 对乘法满足结合律: (ab)c = a(bc) ; (3)乘法对加法满足左右分配率:a(b+c)= ab + ac , (b+c)a = ba + ca . 其中 a,b,c 为 R 中任意元素,则称 R 对这两个代数运算作成一个环。 4、极大理想:设 N 是环 R 的一个理想,且 N≠R .如果除 R 和 N 外,R 中没有包含 N 的其它 理想,则称 N 为环 R 的一个极大理想。 5、惟一分解整环:设 K 是有单位元的整环。如果 K 中每个既不是零又不是单位的元素都能 惟一分解, 则称 K 为惟一分解整环。 整数环 Z 及域 F 上多项式环 F[ x ]都是惟一分解整环。 6、欧氏环:设 K 是一个有单位元的整环,如果 (1)有一个从 K 的非零元集 K – { 0}到非负整数集的映射ψ 存在; (2)这个ψ 对 K 中任意元素 a 及 b≠0,在 K 中 有元素 q,r 使 a=bq + r,r=0 或ψ (r)<ψ (b) ,则称 R 关于ψ 作成一个欧氏环。------------7、素理想:设 R 是一个交换环,P ? R .如果 ab∈P = a∈P 或 b∈P,其中 a,b∈R,则 称 P 是 R 的一个素理想。 显然,manbetx体育客户端环 R 本身是 R 的一个素理想;又零理想{ 0}是 R 的素理想当且仅当 R 无零因子, 亦即 R 是一个整环。 8、主理想:设 R 是一个环,任取 a∈R,R 中包含 a 的全部理想的交也是 R 的一个理想,且 是 R 的包含元素 a 的最小理想,并称其为 R 的由 a 生成的主理想,记为 a . 9、理想:设 N 是环 R 的一个子加群,即对 N 中任意元素 a,b,差 a-b 仍属于 N,如果又有 r∈R,a∈N = ra∈N,则称 N 是环 R 的一个左理想; 如果 r∈R,a∈N = ar∈N,则称 N 是环 R 的一个右理想; 如果 N 既是 R 的左理想又是右理想,则称 N 是环 R 的一个双边理想,简称理想,并用 符号 N ? R 表示。否则记为 N ? R . 10、商群:群 G 的正规子群 N 的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群,称为 G 关于 N 的商 群,记为 G/N . 11、主理想环:设 K 是一个有单位元的整环。如果 K 的每一个理想都是一个主理想,则称 K 是一个主理想整环。整数环和域 F 上的多项式环 F[ x]都是主理想整环。但是,整数环 Z 上的多项式环 Z[ x]不是一个主理想整环。 二、填空(30’) 1、集合 M 的一个分类决定 M 的一个等价关系。 2、集合 M 的一个等价关系决定 M 的一个分类。 3、设 G 是一个半群,则 G 作为成群的充要条件是,对 G 中任意元素 a、b, 方程 ax=b , ya=b 在 G 中都有解。 4、群 G 的一个非空子集 H 作成子群的充要条件是: (1)a,b∈H = ab∈H ; (2)a∈H = a-1∈H. 5、设 H,k 是群 G 的两个子群,则 HK≤G ? HK=KH. 6、整数加群 Z 是无限循环群。 7、无限循环群a有两个生成元,即 a 与 a-1;n 阶循环群有ψ (n)个生成元, 其中ψ (n)为 Euler 函数。 例如,4、5、6 阶循环群分别有ψ (4)=2 ,ψ (5)=4 ,ψ (6)=2 个生成元。 8、设a是任意一个循环群。 (1)若a=∞,则a与整数加群 Z 同构; (2)若a=n,则a与 n 次单位根群 Un 同构。 9、循环群的子群仍为循环群。 10、不相连循环相乘时可以交换。 11、k—循环的阶为 k;不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。 12、 (range,1736—1813)设 H 是有限群 G 的一个子群,则G=H(G:H).从 而任何子集的阶和指数都是群 G 的阶的因数。 13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。 14、左陪集的重要性质 (1)a∈aH . (2)a∈H ? aH=H . (3)b∈aH ? aH=bH . (4)aH=bH,即 a 与 b 同在一个左陪集中 ? a-1b∈H(或 b-1a∈H) 。 (5)若 aH∩bH≠φ ,则 aH=bH .对任二陪集来说,要么相等要么无公共元素。 15、循环群的商群也是循环群。 16、 (第一同构定理)设ψ 是群 G 到 G 的一个同态满射,又 Kerψ 则 G/N ≌ G/N . 17、 (第二同构定理)设 G 是群,又 H≤G,N ? G .则 H∩N ? H,并且 HN/N≌H/(H∩N) . 18、 (第三同构定理)设 G 是群,又 N ? G,H≤G/N .则 (1)存在 G 的惟一子群 H N,且 H=H/N ; N ? G,N=ψ (N) , (2)又当 H ? G/N 时,有惟一的 H ? G 使 H=H/N 且 G/H≌G/N/H/N . 19、设 G 是一个群,a∈G,则 (1)σ a:x — axa-1 (x∈G)是 G 的一个自同构,称为 G 的一个内自同构; (2)G 的全体内自同构作成一个群,称为群 G 的内自同构群,记为 Inn G; (3)Inn G ? Aut G . 20、环 R 的非空子集 S 作成子环的充要条件是: a,b∈S = a - b∈S , a,b∈S = ab∈S . 21、如果 p 是素数,则环 Zp 是一个域;如果 n 是合数,则环 Zn 有零因子,从而不是域。 22、 (环同态基本定理)设 R 与 R 是两个环,且 R ~ R . 则 (1)这个同态核 N,即零元的全体逆象,是 R 的一个理想; (2)R/N ≌R. 23、设 P 是交换环 R 的一个理想。manbetx体育客户端则 P 是 R 的素理想的充分与必要条件是,商环 R/P 无 零因子,即为整环。 24、整数环 Z 的理想 N 是 Z 的极大理想,当且仅当 N 是由素数生成的理想。 25、整环 K 中的元素一定是不可约元。 26、设 K 是任意一个惟一分解整环。则 p 是 K 的元素当且仅当 p 是 K 的不可约元。 27、设 K 是有单位元的整环。如果 (1)K 中每个既不是零又不是单位的元素都可分为不可约元的乘积; (2)K 中的不可约元都是素元; 则 K 是一个惟一分解整环。 28、Gauss 整环 Z[ i]是主理想整环。 29、整数环 Z 是欧氏环。 30、域 F 上多项式环 F[ x]是一个欧氏环。 31、欧氏环必是主理想环,因而是惟一分解整环。 (反之不成立) 32、主理想整环是惟一分解整环。 (反之不成立) 33、群 G 中关于子群 H 的互异的左(或右)陪集的个数,叫做 H 在 G 里的指数,记(G:H). 34、设 p∈K .p≠0,且 p 不是单位。如果 pab 就必有 pa 或 pb,则称 p 是 K 的一个元素。 35、同态:反身、传递 (不满足对称) ; 同构:反身、传递、对称。 例一、设σ =(14) (235) ,τ =(153) (24). 求σ τ σ 解:由定理可知: στ σ -1 -1 =? = (σ (1)σ (5)σ (3) ) (σ (2)σ (4) ) = (425) (24). 例二、证明:K={(1) , (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)} 作成交代群 A4 的一个交换子 群。这个群(以及与其同构的群)称为 Klein(C.L.Klein,1849--1925)四元群。 证 显然 K4 中的置换全为偶置换,而且除恒等置换外其余三个置换的阶都是 2,而且 其中任二个相乘等于第三个,即 K4 对置换的乘法封闭。从而 K4 是 A4 的一个子群,且 显然是一个交换子群。 (证毕) 例三、证明:Z[ i]={a + bia,b∈Z } 作成一个有单位元的整环(这个环称为 Gauss 整环) ,并 且其单位群是{±1,±i } . 证 Z[ i ]作成有单位元的整环显然。又显然±1,±i 均为其单位。下证:Z[ i ]没有别 的单位。 设ε =a + bi 是 Z[ i]的任一单位,则有η ∈ Z[ i ]使 ε η =1,ε 2η 2 =1 . 这只有ε 2 =a2 + b2=1,从而只有 a=±1,b=0;或 a=0,b=±1 . 即ε 只能是±1 及±i . 因此,±1 和±i 是环 Z[ i ]的全部单位。故 U(Z[ i ])={±1,±i } . 例四、在模 8 剩余类环 Z8 中 ,令 4 ={ 0 , 4 }, 2 ={0 , 2 ,4 , 6 },则 4 不是 Z8 的素理想 (因为 2·2=4∈ 4 ,但是 2∈ 4 ) ,也不是 Z8 的极大理想(因为 4 2 Z8). 但是,易知 2 既是 Z8 的素理想也是 Z8 的极大理想。 例五、设 G= a 为 6 阶循环群。给出 G 的一切生成元和 G 的所有子群。 解: a,a5 ; ψ (6)=2 . 例六、试求下列各置换的阶:τ 1=(1378) (24) ; 【4】 τ 2=(1372) (234) ; 【6】 τ 3= 1 6 2 4 3 1 4 5 5 2 6 3 ; 【3】 τ 4= 1 5 2 7 3 6 4 3 5 1 6 4 7 2 ; 【6】 例七、设τ =(327) (26) (14) ,σ =(134) (57). 则 στ σ -1 = (13) (2654) ; σ -1τ σ =(265) (34) . 三、判断(10’) 1、在环 R 中,当 a 不是左零因子时,则 ab =ac ,a≠0 = b=c ; 当 a 不是右零因子时,则 ba= ca ,a≠0 = b=c . 2、无零因子的交换环称为整环。 3、除环和域没有零因子。 4、Zn 中非零元 m 如果与 n 互素,则为可逆元;如果不与 n 互素,则为零因子。 5、欧氏环 主理想整环 惟一分解整环 有单位元整环 (1) (2) 6、一个群的两个子群的乘积一般不再是子群。 7、正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群。 8、群 G 的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群,manbetx体育客户端两个正规子群的乘积仍是一个正规 子群。 9、理想的理想不一定是原环的理想,亦即理想也不具有传递性。

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