manbetx体育客户端定理 2 设为交换环

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  特殊环的子环、理想和商环 摘要:环是一种重要的代数结构,我们熟知的环的例子很多。本文在假设我们熟知环的例子有:整数环,有理数环,实数环以及复数环等;倍整数环;模剩余类整数环环上级方阵环,如,,等;环上一元多项式环,如,等的基础上,讨论具有一些特殊性质的环的例子以及它们的子环,理想和商环的特殊性质。 关键词:环 子环 理想 商环 特殊环的例子 定义 1 称带有两个代数运算的代数系统为环。 若 对于加法做成交换群。 乘法封闭。 满足结合律。 两个分配律成立 , 。 定义2 为环,任一,,,则称为交换环。即乘法交换的环称为交换环。 定义3 为环,若存在,任一,有,则称为环的单位元的环。乘法有单位元的环称为有单位元环。单位元记为。 注:环必有单位环。 环有单位元则唯一。 有单位元,,若存在,有,则称为可以元,为的逆元。 注: 元中必有可逆元。 零环中零元一定可逆。 在非零环中零元不可逆。 环中元可逆,则逆元唯一。 定义3:为环,,,,,若,则元是环的左零因子,是环的右零因子。任意两个非零元的乘积都不为零的环称为无零因子环。 注: 零因子是非零元。 零因子成对出现。 零环为无零因子环。 数环一定为无零因子环。 为无零因子环若,且,则。 为无零因子环若,则,且。 为无零因子环若,,则。 若, ,则。若, ,则。即无零因子环有两个消去律成立。反之,若至少有一个消去律成立,则环为无零因子环。 定义5 称有单位元的无零因子可交换的环为整环。 定义 6 整环:交换的有单位元的无零因子环称为整环。 定义 7 除环:有单位元环中有非零元且任意非零元都有乘法逆远则称其为除环。 定义 8 域:交换的除环为域。 例1 对于环的交换律,单位元和无零因子性,我们给出如下例子,其中表示满足该项性质,表示不满足该项性质。 类型 交换律 单位元 无零因子环 例子 1 2 3 4 5 6 为非零加群,乘法为 7 关于矩阵加法和乘法 8 零环 关于整环,除环和域的子环,我们易有如下结论: 引理 1 整环的子集为的子整环为的子环,且。 引理2 除环的子集为的子除环为的子环且对有。 证明 记为的全体非零元的集合,因为为除环,易验证为乘法群。为的子除环为的子环,且为的子群。为的子环,且有。 引理 3 域的子集为的子域为的子除环。 非零除环是存在的,如:四元数除环,中加法,乘法分别为 , =, 其中是的复共轭。 引理 4 无零因子环的子环和理想无零因子。 引理 5 有单位元无零因子环的非零因子环,若有单位元则与原来的一样。 证明 设有单位元但无零因子,为的子环有单位元,则,必有。 可以验证除环是无零因子的,但无零因子环不必是除环,利用四元除环给出了这样的例子。 例2 设为四元数除环,为虚数单位,,令,上定义加法,乘法与中一致,则为有单位元非交换无零因子环,但不是除环。 证明 由题设,易见为的子环,因而为无零因子环。 的单位元也是的单位元,而,为非交换环。 下面讨论中的可逆元, 设若,则 若,则,,,。 同样可证,若或或,则或或。 若,则,必有,,进而,故,此时可逆元有四个, 同样,若,则可逆元有,,。 若,,此时,则或者或者 于是或,故或,进而,或,此与或不合。 由上中的可逆元共8个,,,,故非除环。 例 3 设为四元数除环,为例2中的,为正整数。为以下子环: , ,, , , , , , , , 。 证明 根据的运算,易知以上集合都是加群,只要验证乘法封闭即可。在中, =, 因为,故, 于是,。 其余均可类似验证。 由引理4,这些子环都无零可验证:是,的理想;是的理想;,是的理想;是的理想;是的理想;是与的理想。由引理5,,,,无单位元。 在单位元的环中,单位元及其负元当然是可逆的,可逆的必是非零元且不是零因子。例2中的环是不交换的有单位的无零因子环,其非零元不全是可逆的,而其可逆元有不仅是单位元及其负元。下面给出交换环的例子,而其它性质与例2中的一样,且其逆元不可逆元均无限多。 例4 关于有理数的加法和乘法构成环。 证明 容易验证是一个交换的有单位元的无零因子环,且的非零元不全是可逆的。除单位元及其负元外,还有可逆元,为正整数。 为构造进一步的例子,我们需要环的直和定义:设,是两个环,在和的卡氏积上按分量定义加法和乘法构成的环称为环和的直和。记,,则,故可自然地看成的理想,且有,。 利用直和,我们将上面例子中的无零因子性去掉,构造交换(不交换情形可以整数矩阵环为例)的有单位元的有零因子环的例子,其非零元不全是可逆的,而其可逆元又不仅是单位及其负元,同时其不可逆元不全是零因子。 例 无单位元无零因子环的真子集环无单位元。 证明 设为无零因子环无单位元环,的真子环有单位元。 因为不能是的单位元,所以有使或, 不妨设,取,则, 于是,即,矛盾。 所以无单位元无零因子环的真子集环无单位元结论成立。 例5 令为上例中的环,,则满足前述条件。 证明 显然是有单位元的交换的有零因子环,而是交换的有单位元的有零因子环,而得全体可逆元为,其中,其中,既是左零因子又死右零因子。 例子中和上例中是无零因子环,例子中的可逆元不可逆元分别是有限多忽然无限多的,例子4中的可逆元,零因子和不可逆的非零因子都有无限多。为给出其他数量的可逆元,零因子和不可逆非零 因子的例子,我们需要群环的定义:设环有单位元,群的单位元为,记,规定上加法和乘法为,, 则构成一个有单位元的环,其零元为,称为群在上的群环。 例6 设为一个3阶群,,。则没有不可逆非零因子,可逆元和零因子有无限多个,而不可逆非零因子无限多,可逆元有限多,零因子无限多。 证明 若有逆元,则 有系数矩阵及其行列式为,,若,则有唯一解, 可逆,如:对有,均是可逆元,有穷多非零解。当时,齐次线性方程组总有无穷多非零解,总是零因子,均有无穷多。在中,若,则在中有唯一一组解, ,,要使在中有唯一组解,即使,,,注意到 将代入得必须不妨设 代入得即 由,得 ,,代入整理得 若,, 中有且只有两个为,另外一个为,易验证这是不可能,必有,则 中有两个一个。于是 中有且有两个相等,设值为,则另一个为,注意到,有且的三个值为。因此可逆元为。 对于其它无限种的情形,在中无解,即在不可逆,但不是零因子,也有无限种。的情形而在中有解,即有无限零因子。 环的元或是零因子或是非零因子,在有单位元的环中,非零因子或是可逆的或是不可逆非零因子下面几个定理讨论可逆元,零因子和不可逆非零因子的数量关系,容易证明:交换环若有有限多零因子则必为有限环。下面定理1是推广。 定理1无限环中,零因子有则无限多,且其中双侧零因子无限多。 定理2有单位元的无限环中,不可逆的非零因子有则无限多。 定理3 设为有单位元的有限环,若不是零因子,则可逆。 证明 考虑,则。由于不是零因子,故,从而,进而存在使。同理存在使,而,即可逆。 有单位元的有限环中的非零元要么是零因子,要么是可逆元,不可逆非零因子不存在而具有不同的可逆元和零因子数量的有限环的例子如下: 例 7 可逆元 零因子 不可逆非零因子 例子 二、特殊环的子环,理想和商环 定义5:环的非空子集关于的加法,乘法做成环,则称为的子环,记为. 注: 环一定有子环。 子环的子环还是子环。 ,,称,为环的平凡子环。 例8 。 例9 ,,求证。 证 因为, 又因为任一,, , 所以,。 例10 为环,,求证。 证 因为,,,。 又因为,,,, ,,。 所以,。 称为环的中心。 定义5:是一个环,是的一个非空子集, 若 ,。 ,。 则称为的理想,记为。 注: 理想一定是子环。 环一定有理想。 在环的理想中,有两类特殊的理想:极大理想与素理想,它们在环论的研究中占有重要的地位,为叙述方便,先给出极大理想和素理想的定义: 定义 6:设是环的理想子环,若,且中不存在任何满足的理想,则是的极大理想。 定义7:设是交换环的理想,若,当时,有或。也即:当时有或,则称是的素理想。 下面定理1与定理2是环的理想为极大理想与素理想的已知结论: 定理 1 设是有单位元的交换环,是的一个真理想子环,则是的极大理想子环。商环是域。 定理 2 设为交换环,是的理想子环,则是的素理想。商环是整环。 例11 为环,因, 知零理想和单位理想是平凡理想。 例12 除换只有平凡理想。 证明 ,则,据,。 ,,则,则。 例13 中,,求证。 证 ,,, ,,,。 例 14 ,求证。 证 。 定义 8 环同态基本定理: 与为环,为到的同态满射,则的核为的理想,进而。 以记非空集合,并在中规定两个代数运算:普通加法和普通乘法,用加号“”和乘号“”表示,由代数学的理论易知:关于普通加法和普通乘法做成一个环,且这个有单位元,无零因子的交换环,即是一个环,称之为整环。 例 15 的任一素元生成一个极大理想。 证明 设是的任一素元。假定是包含。因而存在,使得,又因为是素元,故是的相伴元,则,故是极大理想。 以下再给出几个环的理想是极大理想的充分必要条件: 定理 3 设是环的理想子环,则是的极大理想商环是单环。 证 利用环同态的一个结论,即:若环是环的同态想,,,则在以下对应关系之下,,是的理想子环,使得环在与之间的理想子环与环的全部理想子环,在与之间,除与外,没有理想子环没有平凡的理想子环是单环。 定理 4 设是有单位元的可交换环,是的理想,则 是的极大理想; 若,则有商环是域。 证明 必要性。若是的极大理想,则除零理想及自身外无其它理想。有因为有单位元,故知是域。 充分性。若是域,则除零理想及自身外无去其它理想,则是极大理想。又因为是域,则是整环。由定理2知,是的素理想,故当时,必有,即若时,则有。 定理 5 设为环的理想子环,则是的素理想商环是无零因子环。 证明 必要性。若是环的素理想,即若环或,则,若或或,即中无非零的零因子。故是无零因子环。 充分性。设是无零因子环,则,,,于是,若或,即是的素理想。 交换环的子环,理想和商环都是交换的。 有单位元环的商环有单位元,非平凡理想不能含有原来的单位元。 定义 12 设, 则称由生成的环的主理想,称为生成元。 大部分的例子是容易构造的,为了直观给出所有例子,且只对少数例子给出部分验证,用,,,分别环,子环,理想和商环。当讨论商环时,对应的理想用,有时商环用 与其同构的环表示且用“”写出。 例,,。 例,,。 例,,。 例,,。 例,,。 例,,。 例, 例,, 例,, 例,,,。 例,, 例,,,,,中有零因子:。 例,, 例,, 例,, 例,, 例,, 例,,,, 例,,为由生成的理想, 例,,, 。 例,,,, 不变换:, 有零因子:。 注释: [1] 潘天舒:北京大学和世界一流大学经费比较,高等教育论坛. 1999(4):179-181. 参考文献: [1] 张禾瑞:近世代数基础,高等教育1978年版。 [2] 苏云峰:从清华学堂到清华大学,三联书店2001年版。 [3] 聂灵澡,丁石孙:代数学引论[M],manbetx体育客户端高等教育1988版。 Subrings , Ideals and Quotient Rigns of a Special Ring Abstract:We give here some examples of rings possess communicativity , unit or zero factors , and also discuss the heredity of some properties of a ring to its subring , ideal and quotient ring ,we thus give out all kind of examples corresponded with different possibility. Key words: ideal ; quotient ring ;communicative ring ; no zero factor ring .

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